本
文
摘
要
想了半天不知道是把这篇文章
放在导数的板块还是放在不等式
最后决定还是放在不等式比较合适
毕竟比大小有不等号吗（doge）
废话少说 进入正题
众所周知
这两年比大小题型占据了高考选择压轴的半壁江山
21年乙卷压轴 22年新国一和甲卷单选压轴
都是让人头疼的比大小问题
比大小看似简单 但实际上灵活多变
这里介绍一下比大小的相关进阶技巧
可能会涉及到一些新知识 不过相对较少
还是比较适合高中生食用的
一.开始前需要掌握的基础知识
基本的比较大小方法（如中间值法 作差法 作商法）
换底公式的熟练应用（这个在进行比较指对数时非常重要！）
对数运算法则的熟练掌握
基本不等式的熟练掌握
一定的放缩基础
一定的函数思想和构造函数的能力
二.”放大镜法“解决一类对指数比较大小问题
比大小问题里有一类最常见的就是各种指对数之间的比较
这里介绍一种简单易懂的方法
通过将要比较的数同时增大相同的倍数
或转化为相同的次数
从而放大不同数之间的差距
举个例子
放大至相同的次数运用不等式的性质
比较放大后的三个数的大小
可以很轻松的得出原来数字的大小关系
除了升次 同时倍增也可以
同时倍增也可以起到放大的作用通过这两种手段来放大不同数之间的差距
从而得出他们的大小关系
三.构造函数法在比大小中的应用
1.换底公式在构造函数法中的应用
除了刚刚提到的”放大镜法“
构造函数也是比大小问题中的一种常见且重要的方法
这里我们介绍一下这种方法
结合了换底公式的构造函数值得一提的是
在对数比大小中常常用得到换底公式
从而便于后续的操作
从上面这个例题中我们还可以得到一个常用结论——logx(x+1)单调递减
除了这种简单一点的应用外
部分题目还需要我们结合对数运算来处理
结合了一点对数运算像这个例题则是结合了部分的对数运算
把陌生的对数转化为我们相对熟悉的对数
然后通过已知结论来比较大小
2.导数在构造函数比较大小中的应用
像21年乙卷12题那种比较紧的比大小问题
往往不仅需要构造函数 还需要用到大杀器导数
先根据题意选取一个合适的数来当成x
然后用x表示出原式
再通过作减求导转化为熟悉的不等式问题
这样就能完美的进行原式大小的比较
不过这个方法的缺点也很明显
一次只能比较两个式子的大小关系
多次进行较为麻烦
且计算量往往不小
四.放缩法在比较大小中的应用
1.基本不等式在比较大小中的应用
说到放缩法
大多数人可能会忽略我们最忠实滴伙伴——
基本不等式
这哥们平时默不作声 关键时候极其好用
通过均值不等式进行放缩在作商比较大小时
如果遇到分母/分子形式不太好处理的情况
均值不等式是一个极其优秀的选择
2.泰勒展开在比较大小中的应用
说到放缩就不能不谈泰勒
比大小算是高中范围内泰勒为数不多的应用了
先贴一下泰勒比较常用的几个式子
常用的泰勒展开也就这么多接着我们来看一下泰勒的应用
22年全国甲卷选择压轴很显然这个题目就是用泰勒出的（doge）
泰勒放完之后卡的刚刚好
至于c和b的大小关系
这里就涉及到用泰勒比大小的局限性了——
不等号的方向限制较死 不能变通
如果继续使用泰勒只能得到这样的结果
依然是>得到的依旧是c>一个数的结果
无法判断c和b的大小关系
这里我们最简单的方法还是构造函数
构造函数解决b和c和刚刚的步骤一样
先取合适的x 然后构造函数求导解决
3.分式型放缩（帕德近似及其他）在比较大小中的应用
上面也提到了
泰勒在比较大小时往往容易受到不等号方向的限制
所以我们这里还要介绍几个不等号方向奇特一点的不等式
几个比大小很好用的不等式尤其是e^x的那两个不等式
是为数不多的能将e^x放大的不等式
在比较大小时有很好的效果
22年新国一的单选压轴比大小通过简单的放缩
原本构造函数比较麻烦的题目也变得轻松了起来
（不过对于放缩能力要求较高 建议和构造函数法都要掌握）
这篇文章到这里就介绍辽
比大小的题目一旦出现往往比较活
建议多练多总结
最后的最后
都看到这里了
不留个赞再走吗qaq
