(1/2+1/3+1/4+1/5)+2/3+2/4+2/5加（1213141516是什么意思）

这个经典的问题是数学史上著名的Basel Problem，以大数学家欧拉和数学家家族伯努利家族的故乡——巴塞尔命名，保守估计得有几十种证法吧.

定义： ζ(s)=∑n=1∞1ns\zeta\left( s \right)=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{s}}}

在数学上，这是著名的Riemann Zeta Function，去年闹得沸沸扬扬的黎曼猜想研究的就是它，可惜阿蒂亚爵士已于今年年初逝世，享年90岁.

s=2s=2 时，也即这个问题，相对来说是非常简单的，此时

ζ(2)=∑n=1∞1n2=π26\zeta\left( 2 \right) =\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{2}}} =\frac{\pi^{2}}{6}

这个问题保守估计也有几十种证明方法

http://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/rjchapma/etc/zeta2.pdf

巴塞尔问题(Basel problem)的多种解法--怎么计算$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots$ ? - 御坂01034 - 博客园

这两个地址都罗列出了不少证法

Martin Aigner和Günter Ziegler写的那本著名的《Proofs from THE BOOK》（数学天书中的证明）中，数论篇的第8章《三探π^2/6》一文，也给出了几种巧妙的证法.

我这里也加一种相对较为初等的证明方法，需要用到微积分中的定积分和幂级数相关知识

（一）

我们知道

∫0π2(sin⁡t)2ndt=(2n−1)!!(2n)!!⋅π2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left( \sin t \right)^{2n}\mathrm{d}t= \frac{\left( 2n-1 \right)!!}{\left( 2n \right)!!}\cdot\frac{\pi}{2}

这个结果可由递推公式

∫0π2(sin⁡t)ndt=n−1n∫0π2(sin⁡t)n−2dt\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left( \sin t \right)^{n}\mathrm{d}t= \frac{n-1}{n}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left( \sin t \right)^{n-2}\mathrm{d}t

推出

同理由该递推公式还可推出

∫0π2(sin⁡t)2n+1dt=(2n)!!(2n+1)!!\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left( \sin t \right)^{2n+1}\mathrm{d}t= \frac{\left( 2n \right)!!}{\left( 2n+1 \right)!!}

于是

∫0π2(sin⁡t)2n−1dt=(2n−2)!!(2n−1)!!\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left( \sin t \right)^{2n-1}\mathrm{d}t= \frac{\left( 2n-2 \right)!!}{\left( 2n-1 \right)!!}

由于 t∈(0,π2)t\in\left( 0,\frac{\pi}{2} \right) 时